Пише се и једно и друго.

Добродошли пише се састављено кад је придев који значи потребан, користан, који је дошао у прави час: Сви предлози су добродошли.
Добро дошли растављено као поздрав при доласку, узвик добродошлице: Добро дошли! Боље вас нашли.